题目内容
【题目】如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且AE2＝EGED．求证：DE⊥EF．
【答案】详见解析
【解析】
根据斜边中线定理得出AE＝FE，再利用相似三角形的判定得出△AEG∽△DEA，进而利用相似三角形的性质和菱形的性质解答即可．
证明：∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°．
∵点E是AB的中点，
∴AE＝FE．
∴∠EAF＝∠AFE．
∵AE2＝EGED，
∴
．
∵∠AEG＝∠DEA，
∴△AEG∽△DEA．
∴∠EAG＝∠ADG．
∴∠AFE＝∠ADG．
∵∠AGD＝∠EGF，
∴∠DAG＝∠FEG．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠DAG＝∠AFB＝90°．
∴∠FEG＝90°．
∴DE⊥EF
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