题目内容
一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
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解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+
=
，
∴a+b-
=
，
两边平方，得
a2+2ab+b2-ab（a+b）+
=a2+b2
整理得：
-a2b-ab2+2ab=0，
消去ab得：
-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①
，解得
，则c=13；
②
，解得
，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．
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∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+
| a2+b2 |
| ab |
| 2 |
∴a+b-
| ab |
| 2 |
| a2+b2 |
两边平方，得
a2+2ab+b2-ab（a+b）+
| a2b2 |
| 4 |
整理得：
| a2b2 |
| 4 |
消去ab得：
| ab |
| 4 |
又∵8=1×8=2×4，
∴①
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②
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综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
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