题目内容
一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．
解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
a2+b2=c2，a+b+c=
，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+
=，
两边平方，并整理得，
-a2b-ab2+2ab=0，
消去ab，得
-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①a-4=8，b-4=1，解得：a=12，b=5，则c=13；
②a-4=4，b-4=2，解得：a=8，b=6，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13；6、8、10．
分析：设符合条件的直角三角形的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2+b2=c2，a+b+c=，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
a2+b2=c2，a+b+c=
，∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+
=，两边平方，并整理得，
-a2b-ab2+2ab=0，消去ab，得
-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，又∵8=1×8=2×4，
∴①a-4=8，b-4=1，解得：a=12，b=5，则c=13；
②a-4=4，b-4=2，解得：a=8，b=6，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13；6、8、10．
分析：设符合条件的直角三角形的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2+b2=c2，a+b+c=
，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
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