Question

（2011•德阳）在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AB的高CD与腰AC的夹角为30°，且CD=2

3

，则底边BC的长为

4或4

3

．

Answer 1

分析：分类讨论：当等腰三角形ABC为锐角三角形，由CD⊥AB，∠ACD=30°，得∠A=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DC=

3

AD，AC=2AD，则易得AC=4，根据等腰三角形的性质由∠A=60°得△ABC为等边三角形，即可得到BC=4；当等腰三角形ABC为钝角三角形，由CD⊥AB，∠ACD=30°，得∠DAC=60°，而AB=AC，则∠B=30°，在Rt△BCD中根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到BC的长．

解答：解：当等腰三角形ABC为锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，
∴∠A=60°，
∴DC=

3

AD，AC=2AD，
而CD=2

3

，
∴AD=2，
∴AC=4，
又∵AB=AC，而∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC=4；
当等腰三角形ABC为钝角三角形，如图2，
∵CD⊥AB，∠ACD=30°，
∴∠DAC=60°，
∵AC=AB，
∴∠B=30°，
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD-2

3

，
∴BC=2CD=4

3

．
∴BC为4或4

3

．
故答案为：4或4

3

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．