Question

（2011内蒙古赤峰，24，12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，顶点为C，连结CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称。
（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）求证：四边形ABCD是直角梯形。

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+3与坐标轴分别交于A、B两点。
当y=0时，x=－3，∴点A的坐标为（－3，0）
当x =0时，y= 3，∴点B的坐标为（0，3）
把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

∴抛物线的解析式为
∵
∴C点的坐标为（-1，4）。
（2）证明：
方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;
∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.
在Rt△AOB中，；
在Rt△ANC中，；
在Rt△CMB中，；
∴，∴∠ABC=90°
∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四边形ABCD是直角梯形
方法（二）：设直线BC的解析式为y=mx+3；
把C（-1，4）代入，得m=－1；
∴直线BC的解析式为y=－x+3；
当y=0时，x=3，则E点的坐标为（3，0），即OE="3" ；
∵A（－3，0）、B（0，3）；
∴OA="OB=OE=3" 。
∵∠BOA="∠BOE" =90°
∴∠BAO="∠ABO=∠OEB" =∠OBE=45°；
∴∠ABE=90°；
∴∠ABC=90°；
∵点D、B关于对称轴CN对称，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，则∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四边形ABCD是直角梯形解析:
略