Question

如图，边长为4的等边三角形ABC内接于⊙O，直线EF经过边AC，BC的中点，交⊙O于D、G两点．
（1）求证：△CED≌△CFG；
（2）设ED=a，EB=b，问：在线段EF上是否存在点M，EM的长m能使

x=a y=b

是方程组

2( 5 +1)x-3 3 y=m2+p-8 ( 5 +1)x- 2 3 3 y=m-2p

的解？若存在，求二次函数y=px2-2px+

p+pm

m

的最大值或最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可以从角边角证明两三角形全等，即∠DEC=∠GFC，∠DCA=∠BCG，CE=CF；
（2）将x、y代入方程组消去p得到关于m的二次方程，用根的判别式判断是否存在M点．

解答：（1）证明：∵E、F为AC、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线．
EF∥AB，∠CEF=∠CFE即∠DEC=∠GFC，弧AD=弧BG，∠DCA=∠BCG，
又△ABC为等边三角形，AC=BC则CE=CF，
∴△CED≌△CFG．

（2）解：将

x=a y=b

代入

2( 5 +1)x-3 3 y=m2+p-8 ( 5 +1)x- 2 3 3 y=m-2p

消去p得：
2m2+m-16-5(

5

+1)a+

20 3

3

b=0，
△=1-4×2×[-16-5(

5

+1)a+

20 3

3

b]，
∵△ABC边长为4，EB=b=2

3

，
△=1-8×[24-5(

5

+1)a]，
∴令△≥0，则解得a不符合题意．
∴不存在M点．

点评：本题考查了几何与函数结合的题型，考查了几何的性质及二次函数的最值．