Question

如图，边长为2

3

的等边三角形ABC内接于⊙0，点D在弧AC上运动，但与A、C两点不重合，连结AD并延长交BC的延长线于P．
（1）求⊙0的半径；
（2）设AD为x，AP为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA，根据等边三角形的性质和垂径定理可以E是AB的中点∠EAO=30°这样解直角三角形就可以求出半径了；
（2）连接CD，利用圆内接四边形的性质可以得到∠ADC=∠ACP=120°，还有一个公共角，可以证明△ADC∽△ACP，然后利用相似三角形的性质就可以求出函数的关系式．

解答：解：解：（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA．
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=

AB

2

∴

AE

OA

=cos30°，
∴OA=2

（2）连接CD，则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴

AD

AC

AC

AP

∴AC²=AD•AP
∴y=

(2 3 )2

x

=

12

x

（0＜x＜2

3

）．

点评：此题综合性比较强，把一元二次方程，等边三角形，相似三角形，求函数关系式等知识，正确作出辅助线是关键．