题目内容
【题目】如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠CAM=__________度；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】30；
【解析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM=
∠BAC，
∴∠CAM=30°．
故答案为：30；
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：
①当点D在线段AM上时，如图1，
由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC，即∠BAM=
∠BAC=
×60°=30°
∴∠BOA=90°-30°=60°．
②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD=30°，
同理可得：∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
③当点D在线段MA的延长线上时，如图3，
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
同理可得：∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°．
综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°．
“点睛”边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
