题目内容
【题目】（本题共10分）AB和AC 相交于点A， BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B 、 ∠C、∠BAC的关系．
小明是这样做的：
解：以点A为端点作射线AD．
∵∠1是△ABD的外角，∴∠1= ∠B+∠BAD．
同理∠2=∠C+∠CAD．
∴∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．
小英的思路是：延长BD交AC于点E．
（1）按小英的思路完成∠BDC=∠B+∠C+∠BAC这一结论．
（2）按照上面的思路解决如下问题：如图：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A=60°．求∠BOC的度数．
（3）如图：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）120°；（3）∠BOC=90°+ 
∠A．
【解析】试题分析：
（1）按小英的思路：∠BDC是△DCE的外角，∠DEC是△ABE的外角，则由三角形外角的性质可得；∠BDC=∠C+∠DEC，∠DEC=∠B+∠BAC，由此可得：∠BDC=∠C+∠B+∠BAC；
（2）由△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，可得∠ABO+∠ACO=
（∠ABC+∠ACB）=
（180°-∠A）=60°，
再由（1）可得∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A=120°；
（3）由（2）可得：∠ABO+∠ACO=
（180°-∠A）=90°-
∠A，再由（1）可得：∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A=90°-
∠A+∠A=90°+
∠A.
试题解析：
（1）延长BD交AC于E，
∵∠BDC= ∠C+∠CED，∠CED=∠BAC+∠B，
∴∠BDC=∠C+∠B+∠BAC；
（2）∵△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，
∴∠ABE=
∠ABC，∠ACD=
∠ACB，
∴∠ABE+∠ACD=
（∠ABC+∠ACB）=
（180°-∠A）=60°，
由（1）知∠BOC=∠ABE+∠ACD+∠A
∴∠BOC=60°+60°=120°；
（3）∠BOC与∠A的关系：∠BOC=90°+
∠A，理由如下：
∵△ABC中，BO、CO分别是∠ABC∠ACB的角平分线，
∴∠ABO=
∠ABC，∠ACO=
∠ACB，
∴∠ABO+∠ACO=
（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-
∠A，
又∵由（1）可知：∠BOC=∠ABO+∠ACO+∠A，
∴∠BOC=90°-
∠A+∠A=90°+
∠A.
