Question

如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；

（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.

 

                                

Answer 1

解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在中，

∴     ∴

∴点坐标为………………………………………………………（1分）

在中，   又∵

∴      解得：

∴点坐标为………………………………………………………（2分）

     （2）如图①∵∥  ∴

∴  又知 

∴   又∵

而显然四边形为矩形

             ∴…………………（3分）∴  又∵

∴当时，有最大值（面积单位）

（3）（i）若（如图①）

在中，，∴为的中点

又∵∥ ， ∴为的中点

∴  ∴   ∴

又∵与是关于对称的两点

∴ ，

∴当时（），为等腰三角形

此时点坐标为

（ii）若（如图②）

 在中，

 ∵∥ ，∴，∴

 ∴  ∴

同理可知： ，

∴当时（），此时点坐标为

综合（i）、（ii）可知：或时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为或