题目内容
如图，是一块直角三角形钢板，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．现想利用这块直角三角形钢板剪一个半圆形钢板，且保证半圆的半径为最大，猜想一下半圆的圆心应在何处？请说明理由．
分析：较长的边是斜边．那么半圆的中心应在斜边上．半径最大，即半圆最大，那么这个半圆应与其他两直角边相切．
解答：
解：半圆圆心O应在斜边AB上且距B点
处，且
最大（如图）．
∵
=
，
∴
=
．
∴OB=
•r．
又∵
=
，
∴OA=
•r，c=OA+OB=
+
．
∴r=
．
∴OB=
．
解：半圆圆心O应在斜边AB上且距B点| ac |
| a+b |
| ac |
| a+b |
∵
| OB |
| AB |
| r |
| AC |
∴
| OB |
| C |
| r |
| b |
∴OB=
| c |
| b |
又∵
| OA |
| AB |
| r |
| BC |
∴OA=
| c |
| a |
| cr |
| a |
| cr |
| b |
∴r=
| ab |
| a+b |
∴OB=
| ab |
| a+b |
点评：连接圆心和两个切点，在直角三角形内构成正方形，是做题的关键．
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