Question

如图①所示，已知点0是∠EPF的平分线上的点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．求证：AB=CD．
变式：（1）若角的顶点P在圆上，如图②所示，上述结论成立吗？请加以说明；
（2）若角的顶点P在圆内，如图③所示，上述结论成立吗？请加以说明．

Answer 1

分析：首先过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，由OP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可判定OG=OH，又由垂径定理，即可得AB=CD；
（1）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，由OP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可判定OG=OH，又由垂径定理，即可得AB=CD；
（2）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，由OP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可判定OG=OH，又由垂径定理，即可得AB=CD．

解答：证明：过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，
∵OP平分∠EPF，
∴OG=OH，
∴AB=CD．

（1）成立．
理由：过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，
∵OP平分∠EPF，
∴OG=OH，
∴AB=CD．

（2）成立．
理由：过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，
∵OP平分∠EPF，
∴OG=OH，
∴AB=CD．

点评：此题考查了垂径定理与角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．