题目内容

(2003•绵阳)若点P(t,t)在抛物线上,则点P叫做抛物线的不动点.设抛物线y=ax2+x+2经过点(-1,0)
(1)求这条抛物线的顶点和不动点的坐标;
(2)将这条抛物线进行平移,使其只有一个不动点.证明平移后的抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上.
【答案】分析:(1)可将已知点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式,进而可求出其顶点坐标.
按题目给出的不动点的形式设出不动点的坐标,然后将其代入抛物线中,即可求出不动点的坐标.
(2)可设出平移后抛物线的解析式,由于这个抛物线只有一个不动点,因此这个函数与直线y=x只有一个交点,根据根的判别式即可得出平移后抛物线解析式的顶点坐标,然后将其代入直线4x-4y-1=0中,进行判断即可.
解答:解:(1)已知抛物线y=ax2+x+2经过点(-1,0),
则有:a-1+2=0,a=-1
∴y=-x2+x+2=-(x-2+
∴抛物线的顶点为(
设不动点P的坐标为(m,m),
则有:-m2+m+2=m,
解得m=±
∴不动点()和(-,-).

(2)设平移后的抛物线为y=-(x-a)2+b,
由于抛物线只有一个不动点,
因此抛物线与直线y=x只有一个交点,
即x=-(x-a)2+b,
化简得-x2+(2a-1)x-(a2-b)=0,
△=(2a-1)2-4(a2-b)=0,即4a-4b-1=0,
很明显,平移后抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定,函数图象交点等知识点.
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