Question

（2003•绵阳）已知：如图，D为△ABC的边AC上一点，F为AB延长线上一点，DF交BC于E．
（1）若E是DF的中点，CD=BF，试判定△ABC的形状．
（2）若AC•DE=AB•EF，证明：CD=BF．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据E是中点和CD=BF可以想到，△FBE与另一个三角形全等，所以过D作DG∥AB，这样△FBE≌△DGE，所以FB、GD、CD都相等∠C=∠DGC=∠ABC，所以三角形是等腰三角形；
（2）先把乘积式转化成比例式，所以需要过D作DG∥AB，再利用平行得，而由于平行还可以得到△ABC∽△DGC，得到，通过比例转化和等量代换即可得到CD=BF．
解答：（1）解：过D作DG∥AB交BC于G，
∴，∠CGD=∠ABC
∵E是DF的中点，
∴DE=EF
∴GD=FB
又∵CD=FB，∴CD=GD
∴∠C=∠CGD
∴∠C=∠ABC
所以△ABC是等腰三角形．

（2）证明：过D作DG∥AB交BC于G，
∴，
∴
又∵AC•DE=AB•EF
∴
∴
∴CD=BF．
点评：本题旨在考查通过作辅助线，把相关的两个量通过中间的一个量代换，从而使问题得以解决．