题目内容
【题目】用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.
(1)第4个图案中,三角形的个数有________个,六边形的个数有________个;
(2)第n(n为正整数)个图案中,三角形的个数与六边形的个数各有多少个?
(3)第2017个图案中,三角形的个数与六边形的个数各有多少个?
(4)是否存在某个符合上述规律的图案,其中有100个三角形与30个六边形?如果有,指出是第几个图案;如果没有,说明理由.
【答案】(1)10,4;
(2)三角形的个数为 (2n+2)个,六边形的个数为n;
(3)三角形的个数为4036个,六边形的个数为2017个;
(4)不存在.理由见解析.
【解析】试题分析:观察图案可知:第一个图案有正三角形4个为2×2.第二图案比第一个图案多2个为2×2+2=6个,第三个图案比第二个多2个为2×3+2=8个,那么第n个就有正三角形(2n+2)个;第一个图案有一个正六边形,第二个图案有2个正六边形,依此类推可知第n个图形有n个正六边形,据此即可解答.
试题解析:(1)10,4;
(2)观察发现,第1个图案中有4个三角形与1个六边形,以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形,则第n个图案中三角形的个数为4+2(n-1)=(2n+2)个,六边形的个数为n;
(3)第2017个图案中,三角形的个数为2×2017+2=4036(个),六边形的个数为2017个;
(4)不存在.理由如下:假设存在这样的一个图案,其中有30个六边形,则这个图案是第30个图案,而第30个图案中三角形的个数为2×30+2=62≠100,所以这样的图案不存在.
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