题目内容
（2009•自贡）如图，若等边△ABC的边长为6cm，内切圆⊙O分别切三边于点D，E，F，则阴影部分的面积是（ ）分析：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，求出BD、AD，求出三角形ABC的面积，根据S△OBC=
S△ABC，求出OD，求出∠BOC，根据扇形的面积公式求出即可．
| 1 |
| 3 |
解答：解：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
由勾股定理得：AD=
=
=3
，
∴S△ABC=
BC×AD=
×6×3
=9
，
∵等边三角形ABC的内切圆⊙O分别且AB、BC、AC于F、D、E，
∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，
∴S△AOC=S△OBC=S△OAC，
∴S△OBC=
S△ABC=3
，
∴
BC×OD=3
，
即
×6×OD=3
，
∴OD=
，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴∠OBC=
∠ABC=30°，
同理∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴阴影部分的面积是：
=π．
故选A．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
由勾股定理得：AD=
| AB2-BD2 |
| 62-32 |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∵等边三角形ABC的内切圆⊙O分别且AB、BC、AC于F、D、E，
∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，
∴S△AOC=S△OBC=S△OAC，
∴S△OBC=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
即
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴OD=
| 3 |
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴∠OBC=
| 1 |
| 2 |
同理∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴阴影部分的面积是：
120π×
| ||||
| 360 |
故选A．
点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，勾股定理，三角形的内切圆，等边三角形性质等知识点的应用，关键是求出OD的长和∠BOC的度数，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
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