Question

（2009•从化市二模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A?B，B?C，C?D，D?A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm²），运动时间为t（s）．
（1）试证明四边形EFGH是正方形；
（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四点的运动时间和速度都相同，因此AE=BF=CG=DH，BE=CF=GH=AH由此可得出正方形四个角的直角三角形都全等，那么可根据得出的边相等先得出四边形EHGF是菱形，然后根据得出的角相等，得出四边形EHGF的内角是90°，以此来得出四边形EFGH是正方形．
（2）求正方形的面积也就是求正方形边长的平方，正方形EFGH的边长正好是四角小直角三角形的斜边，那么可用勾股定理用直角三角形的两个直角边来表示出正方形EFGH的边长的平方，已知了E点的速度，可用时间表示出AE，BE由①中的全等三角形可知，BE=AH，于是可用含t的式子表示出正方形边长的平方，也就得出了S与t的函数关系式．
（3）有大正方形的边长，就可以求出大正方形的面积，然后用（2）中得出的正方形EFGH的面积函数关系式等于大正方形面积的，即可得出此时t的值．
解答：解：（1）∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
且AB=BC=CD=DA，
∴EB=FC=GD=HA，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的对应边相等），
∠AEH=∠BFE（全等三角形的对应角相等），
∴四边形EFGH是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．

（2）∵运动时间为t（s），运动速度为1cm/s，
∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，
由（1）知四边形EFGH为正方形，
∴S=EH²=AE²+AH²=t²+（4-t）²
即S=2t²-8t+16=2（t-2）²+8，
当t=2秒时，S有最小值，最小值是8cm²；

（3）存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8．
∵S=S_{正方形ABCD}，
∴2（t-2）²+8=×16，∴t₁=1，t₂=3；
当t=1或3时，
四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，正方形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，用全等三角形来证得四边形EFGH是正方形是解题的关键．