题目内容

【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AEBD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.

(1)求AE和BE的长;

(2)若将ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值.

(3)如图,将ABF绕点B顺时针旋转一个角(锐角),记旋转中的ABF为ABF,在旋转过程中,设AF所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)4,3;(2)3,.(3

【解析】

试题分析:(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;

(2)依题意画出图形,如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;

(3)在旋转过程中,等腰DPQ有4种情形,如答图3所示,对于各种情形分别进行计算.

试题解析:(1)在RtABD中,AB=5,AD=

由勾股定理得:BD=

SABD=BDAE=ABAD,

AE=

在RtABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理得:BE=3.

(2)设平移中的三角形为ABF,如图2所示:

由对称点性质可知,1=2.

由平移性质可知,ABAB4=1,BF=BF=3.

当点F落在AB上时,

ABAB

∴∠3=4,

∴∠3=2,

BB=BF=3,即m=3;

当点F落在AD上时,

ABAB

∴∠6=2,

∵∠1=2,5=1,

∴∠5=6,

又易知AB′⊥AD,

∴△BFD为等腰三角形,

BD=BF=3,

BB=BD-BD=,即m=

(3)存在.理由如下:

在旋转过程中,等腰DPQ依次有以下4种情形:

如答图3-1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,易知2=2Q,

∵∠1=3+Q,1=2,

∴∠3=Q,

AQ=AB=5,

FQ=FA+AQ=4+5=9.

在RtBFQ中,由勾股定理得:BQ=

DQ=BQ-BD=

如图3-2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,易知2=P,

∵∠1=2,

∴∠1=P,

BA′∥PD,则此时点A落在BC边上.

∵∠3=2,

∴∠3=1,

BQ=AQ,

FQ=FA-AQ=4-BQ.

在RtBQF中,由勾股定理得:BF2+FQ2=BQ2

即:32+(4-BQ)2=BQ2

解得:BQ=

DQ=BD-BQ=

如图3-3所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,易知3=4.

∵∠2+3+4=180°3=4,

∴∠4=90°-2.

∵∠1=2,

∴∠4=90°-1.

∴∠AQB=4=90°-1,

∴∠ABQ=180°-AQB-1=90°-1,

∴∠AQB=ABQ,

AQ=AB=5,

FQ=AQ-AF=5-4=1.

在RtBFQ中,由勾股定理得:BQ=

DQ=BD-BQ=

如图3-4所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,易知2=3.

∵∠1=2,3=4,2=3,

∴∠1=4,

BQ=BA=5,

DQ=BD-BQ=

综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使DPQ为等腰三角形;

DQ的长度分别为

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