Question

24、如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．

（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m-n=4，mn=12，求m+n的值．

Answer 1

分析：（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）²，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）²-4mn；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m-n，所以其面积为（m-n）²．

（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）²-4mn=（m-n）²或（m+n）²=（m-n）²+4mn．

（3）由（2）得，将m-n=4，mn=12，代入（2）式可求m+n=8．

解答：解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）²，四个小长方形的面积为4mn，
∴中间阴影部分的面积为S=（m+n）²-4mn．
方法二：∵中间小正方形的边长为m-n，∴其面积为（m-n）²．（4分）

（2）（m+n）²-4mn=（m-n）²或（m+n）²=（m-n）²+4mn）．（6分）

（3）由（2）得（m+n）²-4×12=4²，即（m+n）²=64，
∴m+n=±8．又m、n非负，∴m+n=8．（8分）

点评：本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．