Question

如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且.点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作，射线ET交线段OB于点F.

(1) 求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式；
(2)求证：；
(3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
(4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）y=x²－x－3 （2）通过角的等量代换证明角相等（3）或者
（4）M为

试题分析：解：（1）OC=3OA=3
∴C为（0，－3）
∵抛物线过（－1，0）和（0，－3）


∴y=x²－x－3
BC：y=x－3
（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF＋∠BEF=∠COE＋∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE．
（3）①∵∠OFE=∠BEF＋∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②当OE=EF时，
∠BEF=∠COE，∠OCE=∠EBF
∴△COE≌△BEF（AAS）
∴BE=CO=3．
过E作ED ⊥x轴于D．



③当OF=EF时，则∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E为BC的中点，∴E为．
（4）对称轴为x=1，
∴P为（1，－2）．
①AP为边，
此时P点纵坐标为2或－2，
令x²－2x－3=2
即x²－2x－5=0


故
令x²－2x－3=－2
即x²－2x－1=0

或
故或
②AP为对角线，
设M为（x，0）
则N为（－x，－2）
∴x²＋2x－3=－2
x²＋2x－1=0


综上所述：M为．
点评：该题较为复杂，主要考查学生对求二次函数解析式方法的掌握，以及在直角坐标系中分析函数与直线所都成几何图形点的坐标，需要考虑全面，分点论述。