Question

29、满足方程x²+y²=z²的正整数x、y、z，我们称它们为勾股数．
（1）已知x=m²-n²，y=2mn，z=m²+n²，请证明x、y、z是一组勾股数；
（2）求有一个数是16的一组勾股数．

Answer 1

分析：（1）欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
（2）设x²+y²=z²中的y=16，结合勾股数的特征，求出x，z的值，即可得到有一个数是16的一组勾股数．注意答案不唯一．

解答：解：（1）∵x²+y²=（m²-n²）²+（2mn）²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴，
z²=（m²+n²）²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴x²+y²=z²，
∴x、y、z是一组勾股数．
（2）设y=16，则y=16=2×8×1．取m=8，n=1，
则x=8²-1=63，z=8²+1=65．
∴有一个数是16的一组勾股数是63，16，65．

点评：本题考查了勾股数的概念．解答此题要用到勾股数的定义，注意正确运用勾股定理的逆定理．