Question

18、（1）是否有满足方程x²-y²=1998的整数解x和y？如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．
（2）一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0？

Answer 1

分析：（1）x²-y²=（x+y）（x-y）因为（x+y），（x-y）同奇偶所以（x+y）（x-y）要末是奇数，要末是4的倍数但1998被4除余2如果所标的14个数的和能否为0．则有7个+1，7个-1．但可以知道，1个面有5个数，无论怎么放，都只有2或4个-1．所以不可能出现7个-1．所标的14个数的和不能为0．

解答：解：（1）x²-y²=1998，1998=2×3×3×3×37
若x，y同为偶数，则（x+y），（x-y）同为偶数，→（x+y）（x-y）=4×…不合
若x，y同为奇数，则（x+y），（x-y）同为偶数，→（x+y）（x-y）=4×…不合
若x，y一奇一偶，则（x+y），（x-y）同为奇数，→（x+y）（x-y）=不含因数2
∴方程x²-y²=1998没有整数解．
999²-998²=（999+998）（999-998）=1997×1=1997
1000²-999²=（1000+999）（1000-999）=1999×1=1999
1997&lt；1998&lt；1999，
∴方程x²-y²=1998没有整数解
解：（2）所标的14个数的和能否为0．则有7个+1，7个-1．但可以知道，1个面有5个数，无论怎么放，都只有2或4个-1．
所以不可能出现7个-1．
故：所标的14个数的和不能为0．

点评：此题考查了学生对数的奇偶性问题的掌握．关键是深刻理解奇偶数的意义．