题目内容

【题目】如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,点E在BC上,且PE=PB.

(1)求证:PE=PD;

(2)连接DE,试判断PED的度数,并证明你的结论.

【答案】(1)详见解析;(2)PED=45°,证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD,对角线平分一组对角线可得ACB=ACD,然后利用“边角边”证明PBC和PDC全等,根据全等三角形对应边相等可得PB=PD,然后等量代换即可得证;(2)根据全等三角形对应角相等可得PBC=PDC,根据等边对等角可得PBC=PEB,从而得到PDC=PEB,再根据PEB+PEC=180°求出PDC+PEC=180°,然后根据四边形的内角和定理求出DPE=90°,判断出PDE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求解即可.

试题解析:(1)证明:四边形ABCD是正方形,

BC=CD,ACB=ACD,

PBC和PDC中,

∴△PBC≌△PDC(SAS),

PB=PD,

PE=PB,

PE=PD;

(2)判断PED=45°.

证明:四边形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,

∵△PBC≌△PDC,

∴∠PBC=PDC,

PE=PB,

∴∠PBC=PEB,

∴∠PDC=PEB,

∵∠PEB+PEC=180°,

∴∠PDC+PEC=180°,

在四边形PECD中,EPD=360°﹣(PDC+PEC)﹣BCD=360°﹣180°﹣90°=90°,

PE=PD,

∴△PDE是等腰直角三角形,

∴∠PED=45°.

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