Question

 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；

② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

【解析】（1）先求得△ABP∽△DPC．通过比例求出此时PC的长

（2）过点F作FG⊥AD于点G．△APE∽△GFP，得，在Rt△EPF中，tan∠PEF=即tan∠PEF的值不变．

∴∠PEF的大小不变．

 

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，

∴PB= ，．

∵，

∴．

∴．

∴ △ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2．……………………………………………………………………2分

（2）① ∠PEF的大小不变．

理由：过点F作FG⊥AD于点G．

∴四边形ABFG是矩形．

∴．

∴GF=AB=2，．

∵，

∴．

∴．

∴ △APE∽△GFP.   …………………………………………………4分

∴．

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．……………………………5分

即tan∠PEF的值不变．

∴∠PEF的大小不变．……………………………………………6分

② . ……………………………………………………7分