题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+C的图象过点A(﹣3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)探究:在抛物线的对称轴DE上是否存在点P,使得点P到直线AD和到x轴的距离相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)探究:在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F,使得2S△FBC=3S△EBC?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3,(2)存在,P点坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣﹣1);(3)点F的坐标是().

【解析】

试题分析:(1)把A、C两点坐标代入可求得b、c,可求得抛物线解析式;

(2)当点P在DAB的平分线上时,过P作PMAD,设出P点坐标,可表示出PM、PE,由角平分线的性质可得到PM=PE,可求得P点坐标;当点P在DAB外角平分线上时,同理可求得P点坐标;

(3)可先求得FBC的面积,过F作FQx轴,交BC的延长线于Q,可求得FQ的长,可设出F点坐标,表示出B点坐标,从而可表示出FQ的长,可求得F点坐标.

解:

(1)二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),

,解得

抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3,

(2)存在,

当P在DAB的平分线上时,如图1,作PMAD,

设P(﹣1,m),则PM=PDsinADE=(4﹣m),PE=m,

PM=PE,

(4﹣m)=m,m=﹣1,

P点坐标为(﹣1,﹣1);

当P在DAB的外角平分线上时,如图2,作PNAD,

设P(﹣1,n),则PN=PDsinADE=(4﹣n),PE=﹣n,

PN=PE,

(4﹣n)=﹣n,n=﹣﹣1,

P点坐标为(﹣1,﹣﹣1);

综上可知存在满足条件的P点,其坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣﹣1);

(3)抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3,

B(1,0),

S△EBC=EBOC=3,

2S△FBC=3S△EBC

S△FBC=

过F作FQx轴于点H,交BC的延长线于Q,过F作FMy轴于点M,如图3,

S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ

=HBHQ﹣BHHF﹣QFFM

=BH(HQ﹣HF)﹣QFFM

=BHQF﹣QFFM

=QF(BH﹣FM)

=FQOB

=

FQ=9,

BC的解析式为y=﹣3x+3,

设F(x0,﹣x02﹣2x0+3),

﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9,

解得:x0=(舍去),

点F的坐标是().

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