题目内容
【题目】如图,已知等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC,∠PAB=α,点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F.
（1）如图当α=15°时,①按要求画出图形，②求出∠ACD的度数，③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜α＜75°），当△AEF为等腰三角形时，画出相应图形直接求出α的值为________．
【答案】（1）①见解析；②∠ACD=60°；③DE=2BF，理由见解析；（2）30°或52.5°．
【解析】
（1）①按要求画出即可；
②根据点B关于直线AP的对称点为点D，得到AP垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，证明△ACD为等边三角形，即可得到∠ACD=60°；
③DE=2BF，连接EB，根据AP垂直平分BD，得到ED=EB，利用等边对等角得到∠3=∠4，利用等腰三角形的性质求出∠3=∠4=15°，∠5=30°，又因为AD=AC，AB平分∠DAC，所以AB⊥DC，即可得到EB=2BF，所以ED=2BF；
（2）画出图形，分三种情况讨论：当AE=AF时；当AE=EF时；当EF=AF时．
（1）①如图为所求作的图形；
②∵ B、D关于AP对称，
∴AP垂直平分BD，AD=AB，∠1=∠2=15°，
∴∠DAC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°；
③ DE=2BF ，理由如下：
连接 EB，
∴ED=EB，
∵AB=AD，∠DAB=30°，
∴∠ADB=75°，
又∵∠ADC=60°，
∴∠3=∠4=15°，
∴∠5=30°，
∵AD=AC ，
AB平分∠DAC ，
∴AB⊥DC ，
∴EB=2BF，
∴ED=2BF ；
（2）如图2，
∵AD=AC，
∴△DAC是等腰三角形，
∴∠ADC=（180°-2α-30°）÷2=75°-α，
∴∠AEF=∠ADC+∠DAE=75°-α+α=75°，
当AE=AF时，∠EAF=α=180°-75°×2=180°-150°=30°；
当AE=EF时，∠EAF=α=（180°-75°）÷=52.5°；
当EF=AF时，∠AEF=∠EAF=a=75°（舍去），
故答案为：30°或52.5°．
