题目内容
(2010•德州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.
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【答案】分析:(1)连接OE,证OE⊥BC即可.因为AD⊥BC,所以转证OE∥AD.由AE平分∠BAD,OA=OE易得此结论.
(2)∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO.根据已知条件易得∠B=30°,∠EOB=60°.从而求解.
解答:(1)证明:连接OE.
∵AB=AC且D是BC中点,
∴AD⊥BC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
则∠OEA=∠DAE,
∴OE∥AD,
∴OE⊥BC,
∴BC是⊙O的切线.
(2)解:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,AD⊥BC,EO∥AD,
∴∠BAD=∠EOB=60°且AE平分∠BAD,
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG与∠GAE都对应弧GE
∴∠EFG=∠GAE=30°(同弧所对的圆周角相等)
∴∠EFG=30°.
点评:此题考查了切线的判定、等腰三角形性质等知识点,难度中等.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
(2)∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO.根据已知条件易得∠B=30°,∠EOB=60°.从而求解.
解答:(1)证明:连接OE.
∵AB=AC且D是BC中点,
∴AD⊥BC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
则∠OEA=∠DAE,
∴OE∥AD,
∴OE⊥BC,
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∴BC是⊙O的切线.
(2)解:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,AD⊥BC,EO∥AD,
∴∠BAD=∠EOB=60°且AE平分∠BAD,
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG与∠GAE都对应弧GE
∴∠EFG=∠GAE=30°(同弧所对的圆周角相等)
∴∠EFG=30°.
点评:此题考查了切线的判定、等腰三角形性质等知识点,难度中等.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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