Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

如图延长AB到D，使得AB=BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．可证△ACD是直角三角形，从而DC==AC.接着证明△ACH∽△CDE，求出

点D的坐标，进而表示出点B的坐标，然后把点A和点B的坐标代入函数解析式求出c的值，再根据勾股定理可求出AC的值.

如图延长AB到D，使得AB=BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，

∵AB=BD，

∴BA=BC=BD，

∴△ACD是直角三角形，

∵∠CAD=60°，

∴DC=tan60°·AC=AC，

∵∠ACD=∠AHC=∠DEC=90°，

∴∠ACH+∠DCE=90°，

∵∠ECD+∠CDE=90°，

∴∠ACH=∠CDE，

∴△ACH∽△CDE，

∴=，

∵A（1，），

∴AH=1，CH=﹣c，

∴EC=，DE=﹣c，

∴D（﹣c，c﹣），

∵BA=BD，

∴B（，），

∵A、B在y=上，

∴=×，

整理得：4c2﹣16c﹣11=0，

解得c=﹣或（舍弃），

∴C（0，﹣），

∴AC==2，

故答案为2．