题目内容
【题目】如图，已知抛物线
与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
，B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【解析】
试题分析：（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：
（1）∵抛物线
对称轴是直线x=1，∴﹣
=1，解得b=2，∵抛物线过A（0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为，令y=0可得
，解得x=﹣1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，
），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=，解得t=1或t=﹣
（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ=
=
，BQ=
=
|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=
（舍去）或t=
；
当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
