Question

【题目】如图，一次函数y=- x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．

（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），

由线段AB的中点为D（3，2），得

=3， =2，

解得a=6，b=4．

即A（6，0），B（0，4）

故一次函数解析式为y=- x+4

（2）解：如图1：

连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，

∵∠BOA=90°，

∴OB2+OC2=CB2，

42+x2=（6-x）2，

解得x= ，

即C（ ，0）

（3）解：①当△ACD≌△APD时，设P1（c，d），

由D是PC的中点，得

， =2，

解得c= ，d=4，

即P1（ ，4）；

如图2：

，

②当△ACD≌△DP2A时，

做DE⊥AC与E，P2F⊥AC与F点，DE=2，CE= ，

由△CDE≌△AP2F，

AF=CE= ，P2F=DE=2，

OF=6- = ，

∴P2（ ，-2）；

③当△ACD≌△DP3A时，设P3（e，f）

A是线段P2P3的中点，得

， ，

解得e= ，f=2，

即P3（ ，2），

综上所述：P1（ ，4）；P2（ ，-2）；P3（ ，2）

【解析】（1）把点D的坐标代入一次函数的解析式求出A，B的坐标和b的值，得到一次函数的解析式；（2）根据勾股定理求出点C的坐标；（3）根据题意和全等三角形的判定方法，求出各个点的坐标，得到点P的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.