题目内容

【题目】阅读下面材料,完成(1)-(3)题.

数学课上,老师出示了这样一道题:

如图1,已知等腰△ABC中,ABACADBC边上的中线,以AB为边向AB左侧作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F.请探究线段EFAFDF之间的数量关系,并证明.

同学们经过思考后,交流了自已的想法:

小明:通过观察和度量,发现∠DFC的度数可以求出来.

小强:通过观察和度量,发现线段DFCF之间存在某种数量关系.

小伟:通过做辅助线构造全等三角形,就可以将问题解决.

......

老师:若以AB为边向AB右侧作等边△ABE,其它条件均不改变,请在图2中补全图形,探究线段EFAFDF三者的数量关系,并证明你的结论.

1)求∠DFC的度数;

2)在图1中探究线段EFAFDF之间的数量关系,并证明;

3)在图2中补全图形,探究线段EFAFDF之间的数量关系,并证明.

【答案】160°;(2EF=AF+FC,证明见解析;(3AF=EF+2DF,证明见解析.

【解析】

1)可设∠BAD=∠CADα,∠AEC=∠ACEβ,在ACE中,根据三角形内角和可得60180°,从而有αβ60°,即可得出∠DFC的度数;

2)在EC上截取EGCF,连接AG,证明△AEG≌△ACF,然后再证明△AFG为等边三角形,从而可得出EFEGGFAFFC

3)在AF上截取AGEF,连接BGBF,证明方法类似(2),先证明△ABG≌△EBF,再证明△BFG为等边三角形,最后可得出结论.

解:(1)∵AB=ACADBC边上的中线,∴可设∠BAD∠CADα

又△ABE为等边三角形,

AE=AB=AC,∠EAB=60°,∴可设∠AEC∠ACEβ

ACE中,60°+180°

αβ60°

∴∠DFC=αβ60°

2EF=AF+FC,证明如下:

AB=ACADBC边上的中线,∴ADBC,∴∠FDC=90°

∵∠CFD60°,则∠DCF=30°

CF2DF

EC上截取EGCF,连接AG

AE=AC

∴∠AEG=ACF

∴△AEG≌△ACFSAS),

∴∠EAG=∠CAFAGAF

又∠CAF=BAD

∴∠EAG=BAD

∠GAF=∠BAD+BAG=EAG+BAG=60°

∴△AFG为等边三角形,

EFEGGFAFFC

EF=AF+FC

3)补全图形如图所示,

结论:AF=EF+2DF.证明如下:

同(1)可设∠BAD=∠CADα,∠ACE=∠AECβ

∴∠CAE180°

∴∠BAE180°-60°,∴βα60°

∴∠AFC=βα60°

又△ABE为等边三角形,∴∠ABE=AFC=60°,

∴由8字图可得:∠BAD=∠BEF

AF上截取AGEF,连接BGBF

AB=BE

∴△ABG≌△EBFSAS),

BGBF

AF垂直平分BC

BF=CF

∴∠BFA=AFC=60°

∴△BFG为等边三角形,

BG=BF,又BCFG,∴FG=BF=2DF

AFAGGFBFEF2DFEF

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