Question

（2012•溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．
我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是

5

；
运用：
（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是

（2，0）

；

操作：
（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可得点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值；
（2）找点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC'的解析式，继而可得出点D的坐标．
（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置．

解答：解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，
∴EP+CP的最小值=AE=

5

；

（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，
∵点C'坐标为（0，-2），点A坐标为（6，4），
∴直线C'A的解析式为：y=x-2，
故点D的坐标为（2，0）；

（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；
如图所示：点B、C即为所求作的点．

点评：此题考查了利用轴对称求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题目所给的信息．