题目内容
如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．
（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．
（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．
分析：先根据含30°的直角三角形三边的关系得到FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=
EF=5
．
（1）根据平移的性质得到FC1=BF，从而得到平移的距离；
（2）根据旋转的性质得∠AFA1=30°，则∠A1FD=60°，得到FG⊥CD，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到EG=
EF，则可得到DG，从而求出k的值；
（3）根据折叠的性质得到B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，则DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，易证△DB1H≌△AEH，即可得到结论．
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（1）根据平移的性质得到FC1=BF，从而得到平移的距离；
（2）根据旋转的性质得∠AFA1=30°，则∠A1FD=60°，得到FG⊥CD，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到EG=
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（3）根据折叠的性质得到B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，则DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，易证△DB1H≌△AEH，即可得到结论．
解答：解：∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=
EF=5
．
（1）如图4，FC1=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；
（2）∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，
∴∠AFA1=30°，
∴∠A1FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，
∴EG=
EF=
，
∴DG=10-
=
，
∴DG=3EG，
∴k的值为3；
（3）∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，
∴B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，
∴DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，
而∠DHB1=∠AHE，
在△DB1H与△AEH中，
∵∠DB1H=∠AEH，DB1=AE，∠DHB1=∠AHE，
∴△DB1H≌△AEH，
∴AH=DH．
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=
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（1）如图4，FC1=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；
（2）∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，
∴∠AFA1=30°，
∴∠A1FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，
∴EG=
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∴DG=10-
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∴DG=3EG，
∴k的值为3；
（3）∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，
∴B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，
∴DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，
而∠DHB1=∠AHE，
在△DB1H与△AEH中，
∵∠DB1H=∠AEH，DB1=AE，∠DHB1=∠AHE，
∴△DB1H≌△AEH，
∴AH=DH．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了平移和旋转的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
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