Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证： ；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，若AB=8，求MNMC 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线．

（2）

证明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC=OB．

∴BC= AB．

（3）

解：连接MA，MB，

∵点M是弧AB的中点，

∴弧AM=弧BM，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ ．

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，∴BM=4 ．

∴MNMC=BM2=32．

【解析】（1）根据圆的半径相等得到∠COB=2∠A又∠COB=2∠PCB，从而得到∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角为直角，等量代换得到∠OCP为直角；（2）等角对等边；（3）连接MA，MB，由MNMC=BM2转化为 ， 可得要证明△MBN∽△MCB．
【考点精析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理的相关知识点，需要掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．