题目内容
【题目】正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.
(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；
(2)如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以
cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.
①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；
②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．
【答案】见解析
【解析】试题分析：（1）根据四边形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据勾股定理得到BD=6
，由题意得，DM=t，BE=
t，求得AM=6-t，DE=6
-
t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=
，由①求得BF=
，得方程
=
，于是得到结论．
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，
∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NDA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NDA，
∴△ABF≌△MAN，
∴AF＝MN.
(2)①∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BF，
∴∠ADE＝∠FBE.
∵∠AED＝∠BEF，
∴△EBF∽△EDA，
∴
＝
.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC＝CB＝6cm，
∴BD＝6
cm.
∵点E从点B出发，以
cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts，
∴BE＝
tcm，DE＝(6
－
t)cm，
∴
＝
，
∴y＝
.
②∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，
∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NMA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NMA.
∴△ABF∽△MAN，
∴
＝
.
∵BN＝2AN，AB＝6cm，
∴AN＝2cm.
∴
＝
，
∴t＝2，
∴BF＝
＝3(cm)．
又∵BN＝4cm，
∴FN＝
＝5(cm)．
点睛: 本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用．
