Question

学校围墙边有一个直角三角形的花圃（如图1所示的Rt△ABC），其中斜边AB借助围墙，两条直角边AC和BC用铁栅栏围成，已知AB=10米，AC=8米．
（1）求这个直角三角形花圃的面积．
（2）现在要将这个直角三角形花圃扩充成等腰三角形，设计方案要求斜边AB不变，只能延长两条直角边中的一条．图2是已经设计好的一种方案：延长BC到P，使PA=PB，把花圃扩充成等腰△PAB．设CP的长为x米，请你求出x的值，并计算△PAB的面积．
（3）请你仿照（2）中的方法，设计符合（2）中要求的方案，在下列各图中
画出扩充后的等腰三角形花圃△PAB的示意图，并直接写出△PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理得出BC的长，进而得出三角形花圃的面积；
（2）利用勾股定理AP²=PC²+AC²即（6+x）²=8²+x²，得出三角形的高，进而得出面积；
（3）分别利用图形得出甲，乙，丙，丁4个图形面积，即可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
BC=

AB2-AC2

=6（米），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24（米²）；

（2）在Rt△APC中，AP²=PC²+AC²
即（6+x）²=8²+x²，
解得x=

7

3

∴S_△PAB=

1

2

×（

7

3

+6）×8=

100

3

=33

1

3

（米²）；

（3）如图甲，S△PAB=

1

2

×12×8=48（米²）；
如图乙，S△PAB=

1

2

×10×6=30（米²）；
如图丙，S△PAB=

1

2

×10×8=40（米²）；  
如图丁，S△PAB=

1

2

×16×6=48（米²）

点评：此题主要考查了应用与设计作图和勾股定理的应用，利用已知得出三角形的底与高是解题关键．