Question

如图，△ABC中，O在AC的延长线上，⊙O过C、B两点，交直线AC于D，若CA=CB=CO．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧

BD

上一点，弦CE与BD相交于点F，tan∠BCF=

3

4

，若DF=4

3

-3，求线段FE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OB，得到△OAB是等边三角形，∠OBA=∠OAB=60°，再由AD=AB得到∠ABD=30°，所以∠DBO=90°，证明BD是⊙O的切线．
（2）在直角△ABF中，求出cos∠BFA的值，然后由△ACF∽△BEF，得到

BE

AC

=

BF

AF

，求出直径AC，再确定圆的半径的长．

解答：（1）证明：如图：
连接OB、BE，
∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠D=

1

2

∠OAB=30°．
∴∠DBO=∠ABD+∠OBA=30°+60°=90°．
∴DB是⊙O的切线；

（2）解：在直角△ABF中，由tan∠BFA=

5

2

，设AB=

5

a，则BF=2a，AF=3a，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2a

3a

=

2

3

．
∵∠C=∠E，∠AFC=∠BFE，
∴△FDE∽△FCB，
∴

EF

DF

=

BF

CF

，
∴

12

25-x

=

x

12

，
∴EF=

3

5

（4

3

-3）

点评：本题考查了切线的判定和相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用相似三角形的性质正确的列出比例式．