题目内容
已知:如图边长为2的正方形ABCD中,∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45°①求证:MN=BM+DN;
②若AM、AN交对角线BD于E、F两点.设BF=y,DE=x,求y与x的函数关系式.
分析:(1)将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′,根据正方形的性质和且∠MAN=45°可进行证明.
(2)证明△BFA∽△DAE,根据相似三角形的对应边成比例,可列出函数式.
(2)证明△BFA∽△DAE,根据相似三角形的对应边成比例,可列出函数式.
解答:(1)证明:将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′,
∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°,AM′=AM,BM=DM′,
∵M′AN=∠MAN=45°,AN=AN,
∴△AMN≌△AM′N′,
∴MN=NM′,
∴M′N=M′D+DN=BM+DN,
∴MN=BM+DN.
(2)解:∵∠AED=45°+∠BAE,∠FAB=45°+∠BAE,
∴∠AED=∠FAB,
∵∠ABF=∠ADE,
∴△BFA∽△DAE,
∴
=
,
∴
=
,
∴y=
.
∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°,AM′=AM,BM=DM′,
∵M′AN=∠MAN=45°,AN=AN,
∴△AMN≌△AM′N′,
∴MN=NM′,
∴M′N=M′D+DN=BM+DN,
∴MN=BM+DN.
(2)解:∵∠AED=45°+∠BAE,∠FAB=45°+∠BAE,
∴∠AED=∠FAB,
∵∠ABF=∠ADE,
∴△BFA∽△DAE,
∴
BF |
AD |
AB |
DE |
∴
y |
2 |
2 |
x |
∴y=
4 |
x |
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质等知识点.
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