题目内容

（1）计算：2^-1+2007⁰+ $数学公式$ +tan45°；
（2）化简求值： $数学公式$ ，其中x= $数学公式$ ．
（3）在数学上，对于两个数p和q有三种平均数，即算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中A= $数学公式$ ，G= $数学公式$ ．而调和平均数中的“调和”二字来自于音乐，毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p=10，H=12，q=15满足 $数学公式$ - $数学公式$ = $数学公式$ - $数学公式$ ，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p、H、q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．
①若p=2，q=6，则A=，G=．
②根据上述关系，用p、q的代数式表示出它们的调和平均数H；并根据你所得到的结论，再写出一组调和数．

解：（1）原式= $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ +1，
= $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ -1+1，
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；

（2）原式= $\text{[math]}$ •（x+1）（x-1），
=x（x+1），
=x²+x，
当x= $\text{[math]}$ 时，原式=（ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）①A= $\text{[math]}$ =4；G= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；
故答案为4，2 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴H= $\text{[math]}$ ，
3、4、9就为一组调和数．
分析：（1）根据a⁰=1（a≠0）和负整数指数的意义以及特殊角的三角函数值进行计算；
（2）先同分和因式分解得到原式=x²+x，然后代值计算；
（3）根据题目中的概念易得到A= $\text{[math]}$ =4；G= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，整理得到H= $\text{[math]}$ ，然后任意取p，q的值，通过计算得到H，这样就可得到一组调和数．
点评：本题考查了分式的化减求值：先把分式各分母和分子因式分解，再进行约分，然后把符合条件的字母的值代入进行计算．也考查了a⁰=1（a≠0）和负整数指数的意义以及特殊角的三角函数值；阅读理解题的解法．