题目内容

【题目】已知:一次函数的图象与反比例函数)的图象相交于A,B两点(A在B的右侧).

(1)当A(4,2)时,求反比例函数的解析式及B点的坐标;

(2)在(1)的条件下,反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)当A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)时,直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,连接BC交y轴于点D.若,求△ABC的面积.

【答案】(1)B(1,8);(2)(﹣4,﹣2)、(﹣16,;(3)10

【解析】

试题分析:(1)把点A的坐标代入,就可求出反比例函数的解析式;解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组,就可得到点B的坐标;

(2)PAB是以AB为直角边的直角三角形,分两种情况讨论:①若BAP=90°,过点A作AHOE于H,设AP与x轴的交点为M,如图1,得OE=5,OH=4,AH=2,HE=1.证明AHM∽△EHA,根据相似三角形的性质可求出MH,从而得到点M的坐标,然后用待定系数法求出直线AP的解析式,再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组,就可得到点P的坐标;②若ABP=90°,同理即可得到点P的坐标;

(3)过点B作BSy轴于S,过点C作CTy轴于T,连接OB,如图2,易证CTD∽△BSD,根据相似三角形的性质可得.由A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),可得C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,即可得到.由A、B都在反比例函数的图象上可得a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),把代入即可求出a的值,从而得到点A、B、C的坐标,运用待定系数法求出直线BC的解析式,从而得到点D的坐标及OD的值,然后运用割补法可求出SCOB,再由OA=OC可得SABC=2SCOB

试题解析:(1)把A(4,2)代入,得k=4×2=8反比例函数的解析式为解方程组,得点B的坐标为(1,8);

(2)①若BAP=90°,过点A作AHOE于H,设AP与x轴的交点为M,如图1,对于y=﹣2x+10,当y=0时,﹣2x+10=0,解得x=5,点E(5,0),OE=5.A(4,2),OH=4,AH=2,HE=5﹣4=1.AHOE,∴∠AHM=AHE=90°.又∵∠BAP=90°,∴∠AME+AEM=90°,AME+MAH=90°,∴∠MAH=AEM,∴△AHM∽△EHA,MH=4,M(0,0),可设直线AP的解析式为则有,解得m=直线AP的解析式为,解方程组,得点P的坐标为(﹣4,﹣2).

②若ABP=90°,同理可得:点P的坐标为(﹣16,).

综上所述:符合条件的点P的坐标为(﹣4,﹣2)、(﹣16,);

(3)过点B作BSy轴于S,过点C作CTy轴于T,连接OB,如图2,则有BSCT,∴△CTD∽△BSD,A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,=,即A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)都在反比例函数的图象上,a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),a(﹣2a+10)=(﹣2×+10).a≠0,﹣2a+10=(﹣2×+10),解得:a=3.A(3,4),B(2,6),C(﹣3,﹣4).

设直线BC的解析式为,则有,解得:直线BC的解析式为.当x=0时,y=2,则点D(0,2),OD=2,SCOB=SODC+SODB=ODCT+ODBS=×2×3+×2×2=5.OA=OC,SAOB=SCOBSABC=2SCOB=10.

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