题目内容
【题目】已知:一次函数的图象与反比例函数()的图象相交于A,B两点(A在B的右侧).
(1)当A(4,2)时,求反比例函数的解析式及B点的坐标;
(2)在(1)的条件下,反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)时,直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,连接BC交y轴于点D.若,求△ABC的面积.
【答案】(1),B(1,8);(2)(﹣4,﹣2)、(﹣16,);(3)10.
【解析】
试题分析:(1)把点A的坐标代入,就可求出反比例函数的解析式;解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组,就可得到点B的坐标;
(2)△PAB是以AB为直角边的直角三角形,分两种情况讨论:①若∠BAP=90°,过点A作AH⊥OE于H,设AP与x轴的交点为M,如图1,求得OE=5,OH=4,AH=2,HE=1.证明△AHM∽△EHA,再根据相似三角形的性质可求出MH,从而得到点M的坐标,然后用待定系数法求出直线AP的解析式,再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组,就可得到点P的坐标;②若∠ABP=90°,同理即可得到点P的坐标;
(3)过点B作BS⊥y轴于S,过点C作CT⊥y轴于T,连接OB,如图2,易证△CTD∽△BSD,根据相似三角形的性质可得.由A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),可得C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,即可得到.由A、B都在反比例函数的图象上可得a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),把代入即可求出a的值,从而得到点A、B、C的坐标,运用待定系数法求出直线BC的解析式,从而得到点D的坐标及OD的值,然后运用割补法可求出S△COB,再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB.
试题解析:(1)把A(4,2)代入,得k=4×2=8,∴反比例函数的解析式为,解方程组,得:或,∴点B的坐标为(1,8);
(2)①若∠BAP=90°,过点A作AH⊥OE于H,设AP与x轴的交点为M,如图1,对于y=﹣2x+10,当y=0时,﹣2x+10=0,解得x=5,∴点E(5,0),OE=5.∵A(4,2),∴OH=4,AH=2,∴HE=5﹣4=1.∵AH⊥OE,∴∠AHM=∠AHE=90°.又∵∠BAP=90°,∴∠AME+∠AEM=90°,∠AME+∠MAH=90°,∴∠MAH=∠AEM,∴△AHM∽△EHA,∴,∴,∴MH=4,∴M(0,0),可设直线AP的解析式为,则有,解得m=,∴直线AP的解析式为,解方程组,得:或,∴点P的坐标为(﹣4,﹣2).
②若∠ABP=90°,同理可得:点P的坐标为(﹣16,).
综上所述:符合条件的点P的坐标为(﹣4,﹣2)、(﹣16,);
(3)过点B作BS⊥y轴于S,过点C作CT⊥y轴于T,连接OB,如图2,则有BS∥CT,∴△CTD∽△BSD,∴.∵,∴.∵A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),∴C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,∴=,即.∵A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)都在反比例函数的图象上,∴a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),∴a(﹣2a+10)=(﹣2×+10).∵a≠0,∴﹣2a+10=(﹣2×+10),解得:a=3.∴A(3,4),B(2,6),C(﹣3,﹣4).
设直线BC的解析式为,则有,解得:,∴直线BC的解析式为.当x=0时,y=2,则点D(0,2),OD=2,∴S△COB=S△ODC+S△ODB=ODCT+ODBS=×2×3+×2×2=5.∵OA=OC,∴S△AOB=S△COB,∴S△ABC=2S△COB=10.