题目内容

如图1，抛物线F₁：y=x²的顶点为P，将抛物线F₁平移得到抛物线F₂，使抛物线F₂的顶点Q始终在抛物线F₁图象上（点Q不与点P重合），过点Q直线QB∥x轴，与抛物线F₁的另一个交点为B，抛物线F₁的对称轴交抛物线F₂于点A．
（1）猜想四边形ABOQ的形状为，若四边形ABOQ有一个内角为60°，则此时点Q的坐标为；
（2）若将“抛物线F₁：y=x²”改为“抛物线F₁：y=ax²”，其他条件不变，请你在图2中探究（1）中的问题；
（3）在（2）的基础上，若将“抛物线F₁：y=ax²”改为“抛物线F₁：y=a（x-m）²+n”，请你直接写出点Q的坐标（用含a、m、n的式子表示）．

解：（1）设平移后的抛物线F₂的解析式为：y=（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
由于F₂的顶点（R，S）在抛物线F₁的图象上，则有：
S=R²，即抛物线F₂：y=（x-R）²+R²，
当x=0时，y=2R²；
设AP与BQ的交点为M，则AM=PM=R²，
所以AP、BQ互相垂直平分，
即四边形ABPQ是菱形；
由于菱形的一个内角是60°，则：
①△AMQ中，∠MAQ=30°时，AM= $\text{[math]}$ QM，
即R²= $\text{[math]}$ R，
解得R= $\text{[math]}$ ，此时Q（ $\text{[math]}$ ，3）；
②△AMQ中，∠MAQ=60°时， $\text{[math]}$ AM=QM，即 $\text{[math]}$ R²=R，
解得R= $\text{[math]}$ ，此时Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

（2）设F₂：y=a（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
同（1）可得：S=aR²，
即抛物线F₂：y=a（x-R）²+aR²；
当x=0时，y=2aR²；
即AM=PM=aR²，故AP、BQ互相垂直平分，即四边形ABPQ是菱形；
若菱形的一个内角是60°，同（1）可知：
①AM= $\text{[math]}$ QM，即aR²= $\text{[math]}$ R，解得R= $\text{[math]}$ ，此时Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
② $\text{[math]}$ AM=QM，即 $\text{[math]}$ aR²=R，解得R= $\text{[math]}$ ，此时Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

（3）设F₂：y=a（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
同（2）得：S=a（R-m）²+n，即抛物线F2：y=a（x-R）²+a（R-m）²+n，
当x=m时，y=2a（R-m）²+n，
故AM=PM=a（R-m）²，
同理可得四边形ABPQ是菱形；
Q（m+ $\text{[math]}$ ，n+ $\text{[math]}$ ）或（m+ $\text{[math]}$ ，n+ $\text{[math]}$ ）．
分析：此题3个小题的解法是一致的，首先表示出平移后的抛物线解析式，易知AP垂直平分线段BQ，只需看BQ是否垂直平分AP即可，可将P点横坐标代入平移后的抛物线中，即可得到点A的坐标，然后比较AP的长是否为Q、P纵坐标差的2倍即可；
在证得四边形ABPQ是菱形后，设AP与BQ的交点为M，若菱形的一个内角为60°，那么△AMQ中，∠MAQ=30°或60°，AM、MQ的长可由点A、Q的坐标获得，根据AM= $\text{[math]}$ MQ或 $\text{[math]}$ AM=MQ即可求得点Q的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数的性质以及菱形的判定方法，由于题目中大部分数据都是未知数，所以难度较大．