题目内容
如图1，抛物线F1：y=x2的顶点为P，将抛物线F1平移得到抛物线F2，使抛物线F2的顶点Q始终在抛物线F1图象上（点Q不与点P重合），过点Q直线QB∥x轴，与抛物线F1的另一个交点为B，抛物线F1的对称轴交抛物线F2于点A．（1）猜想四边形ABOQ的形状为
（2）若将“抛物线F1：y=x2”改为“抛物线F1：y=ax2”，其他条件不变，请你在图2中探究（1）中的问题；
（3）在（2）的基础上，若将“抛物线F1：y=ax2”改为“抛物线F1：y=a（x-m）2+n”，请你直接写出点Q的坐标（用含a、m、n的式子表示）．
分析：此题3个小题的解法是一致的，首先表示出平移后的抛物线解析式，易知AP垂直平分线段BQ，只需看BQ是否垂直平分AP即可，可将P点横坐标代入平移后的抛物线中，即可得到点A的坐标，然后比较AP的长是否为Q、P纵坐标差的2倍即可；
在证得四边形ABPQ是菱形后，设AP与BQ的交点为M，若菱形的一个内角为60°，那么△AMQ中，∠MAQ=30°或60°，AM、MQ的长可由点A、Q的坐标获得，根据AM=
MQ或
AM=MQ即可求得点Q的坐标．
在证得四边形ABPQ是菱形后，设AP与BQ的交点为M，若菱形的一个内角为60°，那么△AMQ中，∠MAQ=30°或60°，AM、MQ的长可由点A、Q的坐标获得，根据AM=
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| 3 |
解答：解：（1）设平移后的抛物线F2的解析式为：y=（x-R）2+S，（R＞0，S＞0），
由于F2的顶点（R，S）在抛物线F1的图象上，则有：
S=R2，即抛物线F2：y=（x-R）2+R2，
当x=0时，y=2R2；
设AP与BQ的交点为M，则AM=PM=R2，
所以AP、BQ互相垂直平分，
即四边形ABPQ是菱形；
由于菱形的一个内角是60°，则：
①△AMQ中，∠MAQ=30°时，AM=
QM，
即R2=
R，
解得R=
，此时Q（
，3）；
②△AMQ中，∠MAQ=60°时，
AM=QM，即
R2=R，
解得R=
，此时Q（
，
）．
（2）设F2：y=a（x-R）2+S，（R＞0，S＞0），
同（1）可得：S=aR2，
即抛物线F2：y=a（x-R）2+aR2；
当x=0时，y=2aR2；
即AM=PM=aR2，故AP、BQ互相垂直平分，即四边形ABPQ是菱形；
若菱形的一个内角是60°，同（1）可知：
①AM=
QM，即aR2=
R，解得R=
，此时Q（
，
）；
②
AM=QM，即
aR2=R，解得R=
，此时Q（
，
）．
（3）设F2：y=a（x-R）2+S，（R＞0，S＞0），
同（2）得：S=a（R-m）2+n，即抛物线F2：y=a（x-R）2+a（R-m）2+n，
当x=m时，y=2a（R-m）2+n，
故AM=PM=a（R-m）2，
同理可得四边形ABPQ是菱形；
Q（m+
，n+
）或（m+
，n+
）．
由于F2的顶点（R，S）在抛物线F1的图象上，则有：
S=R2，即抛物线F2：y=（x-R）2+R2，
当x=0时，y=2R2；
设AP与BQ的交点为M，则AM=PM=R2，
所以AP、BQ互相垂直平分，
即四边形ABPQ是菱形；
由于菱形的一个内角是60°，则：
①△AMQ中，∠MAQ=30°时，AM=
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即R2=
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解得R=
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②△AMQ中，∠MAQ=60°时，
| 3 |
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解得R=
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| 3 |
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（2）设F2：y=a（x-R）2+S，（R＞0，S＞0），
同（1）可得：S=aR2，
即抛物线F2：y=a（x-R）2+aR2；
当x=0时，y=2aR2；
即AM=PM=aR2，故AP、BQ互相垂直平分，即四边形ABPQ是菱形；
若菱形的一个内角是60°，同（1）可知：
①AM=
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| 3 |
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| a |
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| a |
| 3 |
| a |
②
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| 3a |
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| 3a |
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（3）设F2：y=a（x-R）2+S，（R＞0，S＞0），
同（2）得：S=a（R-m）2+n，即抛物线F2：y=a（x-R）2+a（R-m）2+n，
当x=m时，y=2a（R-m）2+n，
故AM=PM=a（R-m）2，
同理可得四边形ABPQ是菱形；
Q（m+
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| a |
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| a |
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| 3a |
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| 3a |
点评：此题主要考查了二次函数的性质以及菱形的判定方法，由于题目中大部分数据都是未知数，所以难度较大．
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