Question

已知：直角梯形OABC的四个顶点是O（0，0），A（

3

2

，1），B（s，t），C（

7

2

，0），抛物线y=x²+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．
（1）求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；
（2）当抛物线y=x²+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）AB∥x轴，BC∥y轴∴B点的横坐标与C的横坐标相同，纵坐标与A点的纵坐标相同．就可以求出s，t的值．
（2）抛物线y=x²+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交，抛物线的开口向上，抛物线与AB相交，因而抛物线的顶点一定在AB上或在AB的下边，即顶点的纵坐标小于B点的纵坐标1．用m表示出顶点的纵坐标，小于或等于1，就可以得到关于m的不等式，从而解出m的范围．

解答：解：
（1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC，
∵∠AOC≠90°，
∴∠ABC=90°，
故BC⊥OC，BC⊥AB，
∴B（

7

2

，1）．（（1分））
即s=

7

2

，t=1．直角梯形如图所画．（2分）
（大致说清理由即可）

（2）由题意，y=x²+mx-m与y=1（线段AB）相交，
得，

y=x2+mx-m y=1

（3分）
∴1=x²+mx-m，
由（x-1）（x+1+m）=0，
得x₁=1，x₂=-m-1．
∵x₁=1＜

3

2

，不合题意，舍去．（4分）
∴抛物线y=x²+mx-m与AB边只能相交于（x₂，1），
∴

3

2

≤-m-1≤

7

2

，
∴-

9

2

≤m≤-

5

2

．①（5分）
又∵顶点P（-

m

2

，-

m2+4m

4

）是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，
∴0≤-

m

2

≤

7

2

，即-7≤m≤0． ②（6分）
∵-

m2+4m

4

=-

(m+2)2-4

4

=-(

m

2

+1)2+1≤1，
（或者抛物线y=x²+mx-m顶点的纵坐标最大值是1）
∴点P一定在线段AB的下方．（7分）
又∵点P在x轴的上方，
∴-

m2+4m

4

≥0，m（m+4）≤0，
∴

m≤0 m+4≥0

或者

m≥0 m+4≤0

．（8分）
∴-4≤m≤0． （9分） ③（9分）
又∵点P在直线y=

2

3

x的下方，
∴-

m2+4m

4

≤

2

3

×(-

m

2

)，（10分）
即m（3m+8）≥0．

m≤0 3m+8≤0

或者

m≥0 3m+8≥0

，（*（8分）处评分后，此处不重复评分）
∴m≤-

8

3

（11分），或m≥0 ④
由①，②，③，④，得-4≤m≤-

8

3

．（12分）
说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣（1分），个别漏写的酌情处理．

点评：结合函数的图象理解函数的解析式的特点，利用数形结合的方法可以比较容易理解．