题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．
【答案】
（1）
解：把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
（2）
解：令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，
∴OA=OE=1，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHA=∠EAO=45°，
∵FG⊥AH，
∴△FGH是等腰直角三角形，
设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），
∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），
∴FH=﹣m2+m+2，
∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2× 
（﹣m2+m+2）=﹣（1+ 
）（m﹣ 
）2+ 
∴△FGH的周长最大值为 ；
（3）
解：∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∵直线l垂直于直线AM，
∴设直线l的解析式为y=﹣ x+b，
∵与坐标轴交于P、Q两点，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），
设R（1，a），
∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，
∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，
∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，
∴﹣2a=3b﹣4，①
∴PR2+QR2=PQ2，
即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，
∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②
联立①②解得： 
， 
，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+ 
或y=﹣ x+2．
【解析】（1）求出A、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先证明△FHG是等腰直角三角形，构建二次函数利用函数性质解决问题即可；（3）求得直线AM的解析式为y=2x+2，根据直线l垂直于直线AM，设直线l的解析式为y=﹣ x+b，得到直线l的解析式为y=﹣ x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），根据勾股定理列方程即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．
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