Question

如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为________．

Answer 1

30
分析：由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形．根据三角形中位线定理可得FG=2DE=6，即可解题．
解答：由AG⊥BD，BD是∠ABC，
可得∠ADB=∠GDB=90°，∠ABD=∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，∴AB=GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线，
同理可证；AC=FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形．
又因AG⊥BD，AF⊥CE，所以E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，∴FG=2DE，
则△ABC的周长为：AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG
由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6得则△ABC的周长为30．
故答案为：30
点评：此题涉及到的知识点较多，有全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用等，对于初二的学生来说，是一道难题．