Question

顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，己知AB=2cm，则DE=

（3-

5

）

cm．

Answer 1

分析：由顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，而△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，可得到∠ABC=∠C=72°，∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，则DA=DB=BC，DE=DC，易得△BDC∽△ABC，得BD：AC=DC：BC，则AD：AC=DC：AD，于是得到点D为AC的黄金分割点，所以AD=

5 -1

2

AB，DC=AB-AD=

3- 5

2

AB，
把AB=2代入计算得到DC，而DE=DC．

解答：解：∵顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，
而△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，
∴∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
同理有∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，
∴DA=DB=BC，DE=DC，
∴△BDC∽△ABC，
∴BD：AC=DC：BC，
∴AD：AC=DC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=

5 -1

2

AB，
∴DC=AB-AD=

3- 5

2

AB，
而AB=2，
∴DC=

3- 5

2

×2=3-

5

，
∴DE=（3-

5

）cm．
故答案为（3-

5

）．

点评：本题考查了黄金分割：一个点把一条线段分成较长线段与较短线段，且较长线段与整个线段的比等于较短线段与较长线段的比，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；其中较长线段是整个线段的

5 -1

2

倍．也考查了等腰三角形的性质．