题目内容

【题目】如图 ,在平面直角坐标系中 ,已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)

的图象经过 A(-1,0),B(3,0),C(6,4)三点.

(1)求此二次函数解析式和顶点 D 的坐标;

(2)①E为抛物线对称轴上一点,过点E作FG//x 轴,分别交抛物线于F、G两点 ,若,求点E的坐标;

② 若抛物线对称轴上点 H 到直线 BC 的距离等于点 H 到 x 轴的距离,则求出点 H

的坐标;

(3)在(2)的条件下,以点I(1,)为圆心,IH 的长为半径作⊙I,J 为⊙I上的动点,求是否存在一个定值,使得 CJ+EJ 的最小值是若不存在,请说明理由.若存在,请求出的值;

【答案】(1)y=(x+1)(x-3),对称轴为x=1,顶点坐标D(1,)(2).(3)存在定值,使得

【解析】分析:用待定系数法求出二次函数解析式,再求出顶点坐标即可.

分两种情况进行讨论即可.

假设存在,在对称轴上取点K(1,3),则, ,证明△IJE∽△IKJ,得到,即

从而,当且仅当KJC三点共线时,取得最小值.

详解:(1)设抛物线解析式为,则有

,解得

故抛物线解析式为,对称轴为,顶点坐标D(1,).

(2)①设E(1,t),则有

,由,解得

,解得,故E(1,).

②如图,作∠ABC的平分线与对称轴x=1的交点即为符合题意的H点,记为H1

x轴上取点R(-2,0),连结RC交∠ABC的平分线BH1Q,则有RB=5;

过点CCNx轴交x轴于点N,

RtBCN中,∵BN=3,CN=4,BC=5,BC=RB,

在△BCR中,∵BC=RBBQ平分∠ABC

QRC中点

R(-2,0),C(6,4) Q(2,2),

B(3,0),∴过点BQ两点的

一次函数解析式为

x=1时,y=4. H1(1,4)

如图,过点B交对称轴于点H2,则点H2符合题意,记对称轴于x轴交于点T.

∵∠BTH2=H1TB,RtBTH2RtH1TB,

解得H2(1,-1)

综上,.

(3)存在定值,使得. 理由如下:

如图,在对称轴上取点K(1,3),则

,

∵∠JIE=KIJ,

∴△IJE∽△IKJ

,即

从而,当且仅当KJC三点共线时, ,即

故存在定值,使得.

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