题目内容
【题目】如图 ,在平面直角坐标系中 ,已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)
的图象经过 A(-1,0),B(3,0),C(6,4)三点.
(1)求此二次函数解析式和顶点 D 的坐标;
(2)①E为抛物线对称轴上一点,过点E作FG//x 轴,分别交抛物线于F、G两点 ,若,求点E的坐标;
② 若抛物线对称轴上点 H 到直线 BC 的距离等于点 H 到 x 轴的距离,则求出点 H
的坐标;
(3)在(2)的条件下,以点I(1,)为圆心,IH 的长为半径作⊙I,J 为⊙I上的动点,求是否存在一个定值
,使得 CJ+
EJ 的最小值是
若不存在,请说明理由.若存在,请求出
的值;
【答案】(1)y=(x+1)(x-3),对称轴为x=1,顶点坐标D(1,
)(2)
、
.(3)存在定值
,使得
【解析】分析:用待定系数法求出二次函数解析式,再求出顶点坐标即可.
分两种情况进行讨论即可.
假设存在,在对称轴上取点K(1,3),则
,
,
故
,证明△IJE∽△IKJ,得到
,即
,
从而,当且仅当K、J、C三点共线时,取得最小值.
详解:(1)设抛物线解析式为,则有
,解得
,
故抛物线解析式为,对称轴为
,顶点坐标D(1,
).
(2)①设E(1,t),则有
,
即
故
,
即,由
,解得
,
∴,解得
,故E(1,
).
②如图,作∠ABC的平分线与对称轴x=1的交点即为符合题意的H点,记为H1;
在x轴上取点R(-2,0),连结RC交∠ABC的平分线BH1于Q,则有RB=5;
过点C作CN⊥x轴交x轴于点N,
在Rt△BCN中,∵BN=3,CN=4,∴BC=5,∴BC=RB,
在△BCR中,∵BC=RB,BQ平分∠ABC,
∴Q为RC中点
∵R(-2,0),C(6,4) ∴Q(2,2),
∵B(3,0),∴过点B、Q两点的
一次函数解析式为
当x=1时,y=4. 故H1(1,4)
如图,过点B作交对称轴于点H2,则点H2符合题意,记对称轴于x轴交于点T.
∵即
∵,
∵∠BTH2=∠H1TB,∴Rt△BTH2∽Rt△H1TB,
∴即
解得即H2(1,-1)
综上,、
.
(3)存在定值,使得
. 理由如下:
如图,在对称轴上取点K(1,3),则
,
,
故 ,∵∠JIE=∠KIJ,
∴△IJE∽△IKJ,
∴,即
,
从而,当且仅当K、J、C三点共线时,
,即
,
故存在定值,使得
.
