题目内容
【题目】如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是__.
【答案】1.
【解析】试题分析:先延长EP交BC于点F,得出PF⊥BC,再判定四边形CDEP为平行四边形,根据平行四边形的性质得出:四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,最后根据,判断ab的最大值即可.
试题解析:延长EP交BC于点F,∵∠APB=90°,∠AOE=∠BPC=60°,∴∠EPC=150°,∴∠CPF=180°﹣150°=30°,∴PF平分∠BPC,又∵PB=PC,∴PF⊥BC,设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则
CF=CP=b, ,∵△APE和△ABD都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,∴∠EAD=∠PAB,∴△EAD≌△PAB(SAS),∴ED=PB=CP,同理可得:△APB≌△DCB(SAS),∴EP=AP=CP,∴四边形CDEP是平行四边形,∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab,又∵≥0,∴2ab≤,∴ab≤1,即四边形PCDE面积的最大值为1.故答案为:1.
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