题目内容

为参加学校科技节比赛，小明利用如图的两块边角料木板做模型，其中一块是边长为60cm的正方形；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形（如图①），小明想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受木板纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点，且顶点B所对的顶点在EF上．
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴FC=40（cm）

（2）如图，设矩形顶点B的对应点为P，
当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
∵FC∥PN，
∴△GFC∽△GPN，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵BG=120，BC=60，
∴CG=BG-BC=120-60=60，
∵PN=x，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴GN= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴设矩形的面积 $\text{[math]}$ ．
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm²）
分析：（1）根据四边形ABCD是正方形可得AD∥BG所以△DEF∽△CGF，再根据 $\text{[math]}$ ，得出 $\text{[math]}$ ，即可求出FC的长；
（2）先过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M，根据FC∥PN，得出△GFC∽△GPN， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再根据BG=120，BC=60，求出CG，因为PN=x，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，GN= $\text{[math]}$ ，从而求出 $\text{[math]}$ ，
最后得出设矩形的面积 $\text{[math]}$ 即可求出矩形的最大面积．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数；本题的关键是根据相似三角形的判定与性质表示出矩形的面积，得出二次函数．