Question

有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是

 

．

Answer 1

分析：设半圆的圆心是O，半圆与AD交点是F，连接OF，作FG⊥A′D于G．根据AD=4，CD=2，得∠CAD=30°，则∠ODF=30°，则∠FOD=120°，从而求得扇形的面积；在直角三角形OFG中，根据锐角三角函数求得FG的长，从而求得三角形ODF的面积，进一步求得阴影部分的面积．

解答：解：设半圆的圆心是O，半圆与AD交点是F，连接OF，作FG⊥A′D于G．
在Rt△ACD中，∵AD=4，CD⊥BC，
∴CD=

1

2

AD=2，
∴∠CAD=30°，
∴∠ODF=30°，
∴∠FOD=120°．
∴扇形ODF的面积=

120π×4

360

=

4

3

π．
在Rt△OFG中，OF=2，∠FOG=60°，
∴FG=

3

．
∴△OFD的面积=

3

．
∴阴影部分的面积=

4

3

π-

3

．
故答案为：

4

3

π-

3

．

点评：此题关键是能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积，此题综合运用了折叠的图形全等的性质、切线的性质、扇形面积公式以及30°的直角三角形的性质．